From ba2e2744ce918fa067dceff9ea98d8a2c6683d1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: norangebit Date: Sat, 18 May 2019 16:22:51 +0200 Subject: [PATCH] add documentation merge tree --- doc/exercises/merge_tree.md | 57 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 57 insertions(+) create mode 100644 doc/exercises/merge_tree.md diff --git a/doc/exercises/merge_tree.md b/doc/exercises/merge_tree.md new file mode 100644 index 0000000..bed5427 --- /dev/null +++ b/doc/exercises/merge_tree.md @@ -0,0 +1,57 @@ +--- +author: Raffaele Mignone +title: Caratterizzazione della complessità di un algoritmo per la fusione di due alberi binari ordinati tra loro +keywords: + - Complessità + - Alberi binari + - fusione +subject: Caratterizzazione della complessità +papersize: a4 +lang: it-IT +--- + +# Merge di due alberi binari + +## Traccia + +Siano $T_1$ e $T_2$ due alberi binari di ricerca tali che tutte le chiavi in $T_1$ sono minori delle chiavi in $T_2$. +Scrivere un programma che crea un albero binario di ricerca contenente tutte le chiavi di $T_1$ e $T_2$ e calcolarne la complessità computazionale. + +## Soluzione + +L'esercizio è stato risolto usando uno pseudo *decorator* che va a wrappare i due alberi come mostrato in @fig:classDiagram. + +```{#fig:classDiagram .plantuml caption="Class Diagram"} +interface Tree, V> { + + get(key: K): Option + + set(key: K, value: V) +} + +class MergeTree, V> { + - leftTree: Tree + - rightTree: Tree + - medianKey: K +} + +Tree <|-- MergeTree + +note top of MergeTree: fun get(key: K): Option {\n\treturn if( key <= medianKey ) leftTree.get(key)\n\telse rightTree.get(key)\n} +``` + +Sulla classe `MergeTree` sono consentite tutte l'operazione operazioni che è possibile fare un un albero standard in quanto implementa l'Interfaccia `Tree`. +Il ruolo di `MergeTree` è fare da dispatcher e passare le chiamate ai due sotto alberi. +La scelta dell'albero da chiamare avviene mediante il valore mediano[^size] che viene calcolato all'atto della creazione andando a recuperare la chiave più grande dell'albero di sinistra[^delete]. + +[^size]: Alcune operazioni, come `select` e `rank` vengono smistate tramite la size dei due alberi. + +[^delete]: In caso di un'operazione di `delete` sulla chiave presa come valore mediano, oltre a passare la chiamata di `delete` bisogna avere anche l'accortezza di aggiornare il valore mediano. + +## Caratterizzazione della complessità + +Per creare il nuovo albero è necessario recuperare il valore più grande dell'albero di sinistra, per fare ciò si usa la funzione `max` che ha una complessità $log(l)$ dove $l$ sono gli elementi presente nell'albero di sinistra. +Se indichiamo con $n$ la somma del numero di chiavi presenti nell'albero $T_1$ e $T_2$ possiamo affermare che nel caso migliore (albero di sinistra vuoto) la creazione ha complessità $1$, nel caso peggiore (albero di destra vuoto) una complessità $logn$; +quindi mediamente ci aspettiamo una complessità pari a $log\frac{n}{2}$ e quindi $logn$. + +| Best case | Average | Worst case | +| :-: | :-: | :-: | +| $1$ | $logn$ | $logn$ |