From ba2e2744ce918fa067dceff9ea98d8a2c6683d1d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: norangebit <git@norangeb.it>
Date: Sat, 18 May 2019 16:22:51 +0200
Subject: [PATCH] add documentation merge tree

---
 doc/exercises/merge_tree.md | 57 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 57 insertions(+)
 create mode 100644 doc/exercises/merge_tree.md

diff --git a/doc/exercises/merge_tree.md b/doc/exercises/merge_tree.md
new file mode 100644
index 0000000..bed5427
--- /dev/null
+++ b/doc/exercises/merge_tree.md
@@ -0,0 +1,57 @@
+---
+author: Raffaele Mignone
+title: Caratterizzazione della complessità di un algoritmo per la fusione di due alberi binari ordinati tra loro
+keywords:
+  - Complessità
+  - Alberi binari
+  - fusione
+subject: Caratterizzazione della complessità
+papersize: a4
+lang: it-IT
+---
+
+# Merge di due alberi binari
+
+## Traccia 
+
+Siano $T_1$ e $T_2$ due alberi binari di ricerca tali che tutte le chiavi in $T_1$ sono minori delle chiavi in $T_2$.
+Scrivere un programma che crea un albero binario di ricerca contenente tutte le chiavi di $T_1$ e $T_2$ e calcolarne la complessità computazionale.
+
+## Soluzione
+
+L'esercizio è stato risolto usando uno pseudo *decorator* che va a wrappare i due alberi come mostrato in @fig:classDiagram.
+
+```{#fig:classDiagram .plantuml caption="Class Diagram"}
+interface Tree<K: Comparable<K>, V> {
+  + get(key: K): Option<V>
+  + set(key: K, value: V)
+}
+
+class MergeTree<K: Comparable<K>, V> {
+  - leftTree: Tree<K, V>
+  - rightTree: Tree<K, V>
+  - medianKey: K
+}
+
+Tree <|-- MergeTree
+
+note top of MergeTree: fun get(key: K): Option<V> {\n\treturn if( key <= medianKey ) leftTree.get(key)\n\telse rightTree.get(key)\n}
+```
+
+Sulla classe `MergeTree` sono consentite tutte l'operazione operazioni che è possibile fare un un albero standard in quanto implementa l'Interfaccia `Tree`.
+Il ruolo di `MergeTree` è fare da dispatcher e passare le chiamate ai due sotto alberi.
+La scelta dell'albero da chiamare avviene mediante il valore mediano[^size] che viene calcolato all'atto della creazione andando a recuperare la chiave più grande dell'albero di sinistra[^delete].
+
+[^size]: Alcune operazioni, come `select` e `rank` vengono smistate tramite la size dei due alberi.
+
+[^delete]: In caso di un'operazione di `delete` sulla chiave presa come valore mediano, oltre a passare la chiamata di `delete` bisogna avere anche l'accortezza di aggiornare il valore mediano.
+
+## Caratterizzazione della complessità
+
+Per creare il nuovo albero è necessario recuperare il valore più grande dell'albero di  sinistra, per fare ciò si usa la funzione `max` che ha una complessità $log(l)$ dove $l$ sono gli elementi presente nell'albero di sinistra.
+Se indichiamo con $n$ la somma del numero di chiavi presenti nell'albero $T_1$ e $T_2$ possiamo affermare che nel caso migliore (albero di sinistra vuoto) la creazione ha complessità $1$, nel caso peggiore (albero di destra vuoto) una complessità $logn$;
+quindi mediamente ci aspettiamo una complessità pari a $log\frac{n}{2}$ e quindi $logn$.
+
+| Best case | Average | Worst case |
+| :-:       | :-:     | :-:        |
+| $1$       | $logn$  | $logn$     |