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Raffaele Mignone 2019-05-18 16:22:51 +02:00
parent 423e581529
commit ba2e2744ce
Signed by: norangebit
GPG Key ID: F5255658CB220573

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@ -0,0 +1,57 @@
---
author: Raffaele Mignone
title: Caratterizzazione della complessità di un algoritmo per la fusione di due alberi binari ordinati tra loro
keywords:
- Complessità
- Alberi binari
- fusione
subject: Caratterizzazione della complessità
papersize: a4
lang: it-IT
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# Merge di due alberi binari
## Traccia
Siano $T_1$ e $T_2$ due alberi binari di ricerca tali che tutte le chiavi in $T_1$ sono minori delle chiavi in $T_2$.
Scrivere un programma che crea un albero binario di ricerca contenente tutte le chiavi di $T_1$ e $T_2$ e calcolarne la complessità computazionale.
## Soluzione
L'esercizio è stato risolto usando uno pseudo *decorator* che va a wrappare i due alberi come mostrato in @fig:classDiagram.
```{#fig:classDiagram .plantuml caption="Class Diagram"}
interface Tree<K: Comparable<K>, V> {
+ get(key: K): Option<V>
+ set(key: K, value: V)
}
class MergeTree<K: Comparable<K>, V> {
- leftTree: Tree<K, V>
- rightTree: Tree<K, V>
- medianKey: K
}
Tree <|-- MergeTree
note top of MergeTree: fun get(key: K): Option<V> {\n\treturn if( key <= medianKey ) leftTree.get(key)\n\telse rightTree.get(key)\n}
```
Sulla classe `MergeTree` sono consentite tutte l'operazione operazioni che è possibile fare un un albero standard in quanto implementa l'Interfaccia `Tree`.
Il ruolo di `MergeTree` è fare da dispatcher e passare le chiamate ai due sotto alberi.
La scelta dell'albero da chiamare avviene mediante il valore mediano[^size] che viene calcolato all'atto della creazione andando a recuperare la chiave più grande dell'albero di sinistra[^delete].
[^size]: Alcune operazioni, come `select` e `rank` vengono smistate tramite la size dei due alberi.
[^delete]: In caso di un'operazione di `delete` sulla chiave presa come valore mediano, oltre a passare la chiamata di `delete` bisogna avere anche l'accortezza di aggiornare il valore mediano.
## Caratterizzazione della complessità
Per creare il nuovo albero è necessario recuperare il valore più grande dell'albero di sinistra, per fare ciò si usa la funzione `max` che ha una complessità $log(l)$ dove $l$ sono gli elementi presente nell'albero di sinistra.
Se indichiamo con $n$ la somma del numero di chiavi presenti nell'albero $T_1$ e $T_2$ possiamo affermare che nel caso migliore (albero di sinistra vuoto) la creazione ha complessità $1$, nel caso peggiore (albero di destra vuoto) una complessità $logn$;
quindi mediamente ci aspettiamo una complessità pari a $log\frac{n}{2}$ e quindi $logn$.
| Best case | Average | Worst case |
| :-: | :-: | :-: |
| $1$ | $logn$ | $logn$ |